Nasceu perto de Newcastle-on-Tyne e recebeu educação clássica no St. John’s College, Cambridge. Foi membro da Assembleia de Westminster em 1643 e professor do St. John’s College em 1644. Em 1647 foi vice-chanceler da Universidade de Cambridge, em 1651 foi professor régio da Divinity, em Cambridge, e em 1658 recebeu grau de mestrado pelo Trinity College. Sua obra mais conhecida, A Chain of Principles [Uma corrente de princípios], trata de seis aforismos teológicos. Benjamin Whichcote, filósofo de Cambridge, disse o seguinte a respeito de Arrowsmith: “Ele é meu amigo favorito, uma companhia que muito me agrada, com quem, em anos anteriores, eu me familiarizei de todo o coração”. (1602–59).